傅里叶级数与傅里叶积分

分类: MATH 发布于: 2013-01-11 23:02

傅里叶级数学习过程笔记

参考

1807年，法国数学家Joseph Fourier在巴黎科技大学提交了一个热力学推导方面的论文，同时发表了一个观点

任何函数都可以展开为一个三角级数(infinite)的和

意料之外的是论文被拒，大部分人不相信这个推断。

慢慢地，大部分数学家开始重新思考他们观点的理论基础。

$f(x) = \frac{a_{0}}{2} + ∑{k=1}^{∞}[a{k}cos(kx) + b_{k}sin(kx)]$

傅里叶级数源于一个猜想或假设:

对于区间上(-π, π) 任意函数(arbitrary function) f(x), 可以被写成如下形式:

f(x) = $\frac{a_0}{b} + a_{1}cosx + a_{2}cos2x + b_{2}sin2x + …$

其中，系数(coefficient)由以下等式决定:

$a_{n} = \frac{1}{π}∫^{π}_{-\pi} f(x)cosnx dx$ (n = 0,1,2,…)

$b_{n} = \frac{1}{π}∫^{π}_{-\pi} f(x)sinnx dx$ (n = 0,1,2,…)

上述等式(eular-fourier)可以描述为

对于任意[已知]函数(锯齿函数、矩形函数、三角函数), 它可以被展开为某一级数的形式，其中系数部分($a_{n}、b_{n}$) 由原函数和三角函数的积分决定。

傅里叶级数成功的一个主要理论依据是，cos(nx) 和 sin(nx) 为一组标准正交基(complete orthogonal bias)