概率统计基础理论学习笔记(二)

很多天才，Lapelace，惠更斯终其一生也不过贡献了一条公式而已。

概率的性质

• 定义 设样本空间Ω中的σ代表为F，定义在F上的实值集合P(A)成为概率，如果它满足一下条件:

1) 非负 2) 规范性 P(Ω) = 1 3) 可列可加性， 设$A_i$ ∈ Ϝ(i = 1,2,3,..)且$A_i$∩$A_j$=Φ(i‡j) 则

$$P(⋃_{i=j}^{∞}A_i) = ∑_{i=j}^{∞}P(A_i)$$

• 性质

1) P(Φ) = 0， 不可能的事件概率等于0

如何定义不可能?

2) 有限可加性

3) 逆事件概率

$$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$

4)单调性 若 A⊂B, 则 P(A) ≤ P(B),且

P(B - A) = P(B) - P(A)

5) 加法定理 若A、B是任意两个事件，则

P(A∪B) = P(A) + B(B) - P(AB)

定理5 证明

将A∪B 表示成 互斥事件之并

$$A∪B = A∪(B-AB)$$

P(A∪B) = P(A) + P(B - AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

6) 证明 $ P(A) = 1 - P(\bar{A}) $

因为$A\bar{A}$ = Φ, A∪B = Ω, 所以 由概率的性质

1 = P(Ω) = $P(A∪\bar{A})$ = P(A) + $P(\bar{A})$

7) 证明 P(AB) = 1 - $P(\bar{A})$ - $P(\bar{B})$ + $P(\bar{AB})$

P(AB) = 1 - $P(\bar{AB})$ = 1 - $P(\bar{A} ∪ \bar{B})$ = 1 - [$P(\bar{A})$ + $P(\bar{B})$ - P((\bar{A}(\bar{B})]

8) 已知事件$A_1$,$A_2$同时发生，则A发生，证明:

P(A) ≧ P($A_1$) + P($A_2$) - 1

证明过程

$A_1$A_2$ ⊂ A， 所以 P(A) ≥ P($A_1$A_2$) ≥ P($A_1$) + P($A_2$) - P($A_1$$A_2$) ≥ P($A_1$) + P($A_2$) - 1

上式最后一步成立，是因为 1 ≥ P($A_1$$A_2$) ≥ 0

9) 设P(A) = p, P(B) = q, P(AB) = r, 用 p,q,r表示下列事件的概率:

• • $P(\bar{A}∪\bar{B})$

$P(\bar{A}∪\bar{B})$ = $P(\bar{AB})$ = 1 - P(AB) = 1 - r

• • $求P(\bar{A}B)$

$\bar{A}B$ = B - AB // 这个公式很重要

所以，$P(\bar{A}∪\bar{B})$ = P(B - AB) = P(B) - P(AB) = q - r